Turunan Fungsi Trigonometri

Rumus dasar turunan fungsi trigonometri adalah turunan fungsi sinus dan kosinus, yang diperoleh dari konsep limit, yakni sebagai berikut:

Jika y = sin x maka y’ = cos x

Jika y = cos x maka y’ = –sin x

Dari rumus dasar tersebut, diturunkanlah rumus pengembangan, yakni turunan fungsi tangens, cotangens, secan dan cosecan. Proses pengembangan rumus tersebut adalah

Jika y = tan x maka y’ = sec²x

Jika y = cot x maka y’ = – cosec²x

Jika y = sec x maka y’ = sec x . tan x

Jika y = cosec x maka y’ = – cosec x . tan x

Selanjutnya, terdapat rumus pengembangan turunan fungsi trigonometri dengan aturan rantai, yakni sebagai berikut :
Misalkan u(x) adalah fungsi yang terdefinisi pada x bilangan real dan f(u) = sin u, maka untuk y = f [u(x)] diperoleh y’ = f ‘ [u(x)]. u’(x)
y’ = (cos u)(u’)
y’ = u’.cos u
Sehingga dengan cara yang sama dapat disimpulkan bahwa jika u adalah fungsi yang terdefinisi pada bilangan real, maka diperoleh:

Untuk y = sin u maka y’ = u’.cos u

Untuk y = cos u maka y’ = –u’.sin u

Untuk y = tan u maka y’ = u’. sec²u

Untuk y = cot u maka y’ = u'. cosec²u

Untuk y = sec u maka y’ = u’. sec u . tan u

Untuk y = csc u maka y’ = –u’. cosec u . tan u

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini :
(a) f(x) = cos (3x – 4)
(b) f(x) = 3.tan (x² – 4)
(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5.sec(x² – 4)
(d) f(x) = 4x² – sec(2x² + 3x)
Jawab

(a) f(x) = cos (3x – 4)
Maka
f ’(x) = (3)(–sin(3x – 4))
f ’(x) = –3.sin(3x – 4)

(b) f(x) = 3.tan (x² – 4)
Maka
f ’(x) = (2x)(3)sec² (x² – 4)
f ’(x) = 2x sec² (x² – 4)

(c) f(x) = cot (2x + 5) – 5 . sec(x2 – 4)
Maka
f ’(x) = (2)(5)(2 . sec²x) – (2x)(5.sec(x² – 4).tan(x² – 4))
f ’(x) = 20 . sec²x – 10x.sec(x² – 4).tan(x² – 4)

(d) f(x) = 4x² – sec(2x² + 3x)
Maka f ’(x) = 8x – ((4x + 3) sec(x² + 3x).tan(2x² + 3x))

02. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini:




03. Tentukanlah turunan pertama dari setiap fungsi berikut ini:

jawab


04. Tentukanlah nilai setiap turunan berikut ini untuk x bilangan real yang diberikan:

jawab